力学§６メモ

・力学系の運動に際して、2s個の量、qiおよび\dot{qi} (i=1~s)を変数に持ち、運動の間一定の値を保ち、初期条件だけで決まる関数がある。
　→運動の積分

・自由度sの孤立系の場合、独立な運動の積分の数2s-1個。

・保存量一定の根拠は、空間と時間の一様性と等方性に結びつく。また保存量は加法性を持つ。

・時間の一様性からエネルギー保存則が導かれる。
　時間の一様性のため、孤立系のラグランジアンLは時間に陽に依存しない。このことを考慮し、Lの時間に関する完全導関数を書き下し、ラグランジュ方程式を用いて、Lのqiによる偏微分の項を時間微分の項に置き換える。全ての項をd/dtで括ることができ、その時間積分は定数Eとおける。Eは孤立系の運動に際して不変であり、したがって系の運動の積分。Eをエネルギーと呼ぶ。

・孤立系の運動に関して、エネルギーは不変。

・エネルギーの保存則は外部の場が一定（時間によらない）の場合にも正しい。エネルギーが保存される力学系を保存系と呼ぶ。